用中项法证明两等数列
接昨天的内容讲一道数列题.分析:昨天的文章含参数的等比数列提出,证明数列为等差或等比数列的首选方法是定义法....
前面写过一篇《如何证明一个复杂数列为两等数列?》,介绍的是定义法.
定义法是主要办法,能不能搞定所有题目呢?
当然会有例外.看下面这道题.
1
定义法的套路
定义法的出题模式是这样的:题中给出数列的相邻两项bn和bn+1的关系,要求证明某个含有bn的复杂数列为等差或等比数列.解法就是:若要求证明等差,就用bn+1-bn(后项减去前项),代入题中所给关系式,化简得出结果是一个常量;若要求证明等比,就用bn+1/bn(后项除以前项),代入题中所给关系式,化简得出结果是一个不为零的常量.
本题比较独特:虽然要研究数列{bn},可是题中给出的关系式中却夹杂着数列{an},即出现了两个数列混合的形式.
2
消元的思想:两个数列混编,设法消去一个
我们要想方设法把an,an+1消去.
如何消去呢?
这样an+1就可以用含有bn的关系式来表示了.
可是(1)式中还有an怎么表示呢?
这就要用到数列的迭代思想,(3)式中n的取值是任意正整数,我们可以把每一项的脚标同时减小一个.
我们成功地把an和an+1用含有bn的式子来表示,下面用代入消元法.
这种证明的方法称为中项法.
3
中项法总结
说的具体一些,中项法又分为等差中项法和等比中项法.
下面的求解过程顺理成章,先求中间数列的通项,它帮助我们最终求得数列{bn}的通项.
小结:证明复杂数列为等差或者等比数列的方法有两种
- 定义法
- 中项法.
推荐阅读:分析一道函数创新题
上一篇:数列创新题如何解决?
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